Vilém Veverka absolvoval Pražskou konzervatoř (František Xaver Thuri) a Akademii múzických umění v Praze (Liběna Séquardtová), později navštěvoval kurzy Jean-Louise Capezzaliho. Zásadní impuls v jeho uměleckém rozvoji však přineslo účinkování v Gustav Mahler Jugendorchester a následné studium u předního německého hobojisty Dominika Wollenwebera na Hochschule für Musik „Hanns Eisler“ v Berlíně, na které navázal dvouletým účinkováním v proslulé Berlínské filharmonii (Karajan Stiftung).

V roce 2003 triumfoval v hobojové soutěži Sony Music Foundation v Tokiu. Jako sólista vystupuje s významnými českými a zahraničními orchestry, např. s PKF – Prague Philharmonia, Filharmonií Brno, Tokyo Philharmonic Orchestra, Bayerisches Kammerorchester či Dohnányi Budafok Orchestra.

Nahrál a v českých premiérách uvedl řadu náročných skladeb druhé poloviny 20. století (Bennet, Berio, Britten, Yun, Zimmermann, Rihm, Kopelent). Je sólistou Filharmonie Brno, zakládajícím členem PhilHarmonia Octet Prague a oficiálním hráčem firmy Buffet Crampon Paris.